jueves, 20 de septiembre de 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES


Ecuación diferencial de Bernoulli

http://image.slidesharecdn.com/teoremadebernoulli-100228025358-phpapp02/95/slide-1-728.jpg?1267347961

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha
donde \!P(x) y \!Q(x) son funciones continuas en un intervalo [a,b] \subseteq \mathbb{R}

Método de resolución

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)
Definiendo:
Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}
lleva inmediatamente a las relaciones:
Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)
Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:
(2)\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}
Donde C \in \mathbb{R} es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
{y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}
Con C \in \mathbb{R}.

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)\!y(x) = e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int{ \!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)

Caso particular: α = 1

En este caso la solución viene dada por:
(5)\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C

Ejemplo

Para resolver la ecuación:
(*)\qquad xy'+y=x^4y^3
Se hace el cambio de variable z=y^{-2}\;, que introducido en (*) da simplemente:
(**)y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: \frac{2y}{x}; se llega a:
\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad
z'-\frac{2z}{x}=-2x^3
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}
Y se resuelve ahora la ecuación:
\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue z=y^{-2}\;:
\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad
y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}
                                                                            



Ecuación de Riccati

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Jacopo_Francesco_Riccati_(1676-1754).jpg/220px-Jacopo_Francesco_Riccati_(1676-1754).jpgLa ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:
\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)
Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos  y_1(x)\,\!.
Conocida dicha solución, se hace el cambio:
 y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!
y reemplazando, se obtiene:
\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}
es decir:
 -p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)
\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)
lo que equivale a:
\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)
\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x) +2q(x)y_1(x))z -q(x)z^2
que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
 y(x)=y_1(x) + \frac{1}{z(x)},
esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.
Ecuación diferencial de Clairaut
http://www.apprendre-math.info/history/photos/Clairaut.jpegLa ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right).
Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2},
por tanto
0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}.
y así:
0=\frac{d^2 y}{dx^2}
ó
0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right).
En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por
y(x)=Cx+f(C),\,
llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,
0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right),
define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo:
Resolver:
xy'''+(y''')^2=y''.\,
Hacemos
y'' = p,\,
por tanto
xp' + (p')^2 = p,\,
obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es
p = y'' = Cx + C^2,\,
de la cual podemos obtener y integrando dos veces, así
y = \int\int y''\,dx dx = \int\int (Cx+C^2)\,dx dx = \int (\frac{Cx^2}{2}+C^2x+D)\,dx = \frac{Cx^3}{6}+\frac{C^2x^2}{2}+Dx+E,\,
siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:
y = \frac{Cx^3}{6}+\frac{C^2x^2}{2}+Dx+E.

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada