Ecuación
diferencial de Bernoulli


Método de resolución
Caso
general
Si se descuentan los casos particulares en
que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Ecuación a la cual se puede aplicar el método
de resolución de una ecuación
diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde
es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

![{y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{
\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}](file:///C:/DOCUME~1/PRUEBA/CONFIG~1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif)
Finalmente, las funciones que satisfacen la
ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
Con
.

Caso particular:
α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una
ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
Caso
particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
Ejemplo
Para resolver la ecuación:
Multiplicando la ecuación anterior por el factor:
se llega a:



Que es una ecuación diferencial lineal que
puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor
integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos
fue
:


Ecuación
de Riccati

Corresponde a una ecuación de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente se
conoce una solución particular, digamos
.

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:


lo que equivale a:


Obsérvese que si se hace el cambio

Ecuación diferencial de Clairaut


Para resolver la
ecuación, diferenciamos respecto a x,
quedando:

por tanto

y así:

ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier
constante arbitraria C.
Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones
dadas por

llamadas soluciones
generales de
la ecuación de Clairaut.
El otro caso,

define sólo una
solución y(x),
llamada solución singular,
cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de
las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando
notación paramétrica, como: (x(p), y(p)),
donde p representa dy/dx.
Ejemplo:
Resolver:

Hacemos

por tanto

obteniendo la
ecuación de Clairaut, cuya solución es

de la cual podemos
obtener y integrando dos
veces, así

siendo D y E otras dos
constantes cualquiera.
Solución:

No hay comentarios:
Publicar un comentario