Ecuación
diferencial de Bernoulli
Método de resolución
Caso
general
Si se descuentan los casos particulares en
que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
Definiendo:
lleva inmediatamente a las relaciones:
Ecuación a la cual se puede aplicar el método
de resolución de una ecuación
diferencial lineal obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
Finalmente, las funciones que satisfacen la
ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
Con .
Caso particular:
α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una
ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
Caso
particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
Ejemplo
Para resolver la ecuación:
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Que es una ecuación diferencial lineal que
puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor
integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos
fue :
Ecuación
de Riccati
La ecuación de Riccati es una ecuación
diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el
matemático italiano Jacopo Francesco Riccati,
con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:
Esta ecuación se resuelve si previamente se
conoce una solución particular, digamos .
Conocida dicha solución, se hace el cambio:
y reemplazando, se obtiene:
es decir:
lo que equivale a:
Obsérvese que si se hace el cambio
,
Ecuación diferencial de Clairaut
La ecuación
diferencial de Clairaut, así llamada en
honor a su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut,
es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
Para resolver la
ecuación, diferenciamos respecto a x,
quedando:
por tanto
y así:
ó
En el primer caso, C = dy/dx para cualquier
constante arbitraria C.
Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones
dadas por
llamadas soluciones
generales de
la ecuación de Clairaut.
El otro caso,
define sólo una
solución y(x),
llamada solución singular,
cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de
las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando
notación paramétrica, como: (x(p), y(p)),
donde p representa dy/dx.
Ejemplo:
Resolver:
Hacemos
por tanto
obteniendo la
ecuación de Clairaut, cuya solución es
de la cual podemos
obtener y integrando dos
veces, así
siendo D y E otras dos
constantes cualquiera.
Solución: